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高一数学竞赛题

发布时间: 2021-04-15 05:21:41

A. 高一数学竞赛题------集合

7.首先a1+a4=10且a1,a4均为完全平方数(因为A交B={a1,a4})。又因为a1<a4,所以a1=1,a4=9.
A并B中的元素的和a2(a2+1)+a3(a3+1)+a5(a5+1)+1+81=256.
故a2(a2+1)+a3(a3+1)+a5(a5+1)=174.
因为a1方=1,a4方=81,所以有两种情况——a2方=9或a3方=9,即a2=3或a3=3。
讨论:
1)若a3=3,则a2=2,a5(a5+1)=156,a5=12.故A={1,2,3,9,12};
2) 若a2=3, 则a3(a3+1)+a5(a5+1)=162
a) a3=4时 a5不属于自然数——错误;
b) a3=5时 a5=11 故A={1,3,5,9,11};
c) a3=6时 a5不属于自然数——错误;
d) a3=7时 a5不属于自然数——错误;
e) a3=8时 a5=9 故A={1,3,8,9,9},因为集合中元素具有互异性,
所以该解错误。
所以A={1,3,5,9,11}或A={1,2,3,9,12}

B. 高一数学竞赛最经典的60道题

这太难了...还得是抄高一的,教你偷个懒,平面几何和数论在高中竞赛中没有明显的年级划分,你网上各搜30道完事...你要想麻烦的话就先把高一课本目录熟悉遍,然后下载几套卷子,把符合要求的题复制下来就好了.
推荐一道经典的趣味题(算高几的我不知道...)
证明:平面封闭等周长图形中圆面积最大

C. 高一数学竞赛题

我支持第二种
第一种,63减选了(两种衣服的人)*1再减选了(三种衣服的人)*2
就好像第二种那样,选两种衣服的人乘2,三种衣服的人乘3

D. 高中数学竞赛题

我曾经参加过全国高中数学竞赛。初赛的题目比任何学校公开的数学考试的最后一题都难。建议你买一本高中数学竞赛题看一下,上面有很多例子。初赛的题目目标是让百分之五十的人题目意思都看不懂,让百分之九十九的人根本无从下手如何解题。只让百分之一的人能做出来。

E. 高中数学竞赛题是如何被出出来的

我曾经参加过全国高中数学竞赛。初赛的题目比任何学校公开的数学考试的版最后一题都难。建议你买一权本高中数学竞赛题看一下,上面有很多例子。初赛的题目目标是让百分之五十的人题目意思都看不懂,让百分之九十九的人根本无从下手如何解题。只让百分之一的人能做出来。

F. 历届高中数学竞赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛江西省预赛
试 题

一、填空题(每小题10分,共 分)
、 是这样的一个四位数,它的各位数字之和为 ;像这样各位数字之和为 的四位数总共有 个.
、设数列 满足: ,且对于其中任三个连续项 ,都有: .则通项 .
、以抛物线 上的一点 为直角顶点,作抛物线的两个内接直角三角形 与 ,则线段 与 的交点 的坐标为 .
、设 ,则函数 的最大值是 .
、 .
、正三棱锥 的底面边长为 ,侧棱长为 ,过点 作与侧棱 都相交的截面 ,那么, 周长的最小值是 .
、满足 的一组正整数 .
、用 表示正整数 的各位数字之和,则 .
二、解答题(共 题,合计 分)
、(20分)、设 ,且满足: ,求 的值.

、( 分)如图, 的内心为 , 分别是
的中点, ,内切圆 分别与边 相切于 ;证明: 三线共点.

、( 分)在电脑屏幕上给出一个正 边形,它的顶点分别被涂成黑、白两色;某程序执行这样的操作:每次可选中多边形连续的 个顶点(其中 是小于 的一个固定的正整数),一按鼠标键,将会使这 个顶点“黑白颠倒”,即黑点变白,而白点变黑;
、证明:如果 为奇数,则可以经过有限次这样的操作,使得所有顶点都变成白色,也可以经过有限次这样的操作,使得所有顶点都变成黑色;
、当 为偶数时,是否也能经过有限次这样的操作,使得所有的顶点都变成一色?证明你的结论.

解 答

、 .提示:这种四位数 的个数,就是不定方程 满足条件 , 的整解的个数;即 的非负整解个数,其中 ,易知这种解有 个,即总共有 个这样的四位数.(注:也可直接列举.)
、 . 提示:由条件得,

所以

故 ,而 ;


于是

由此得
.

、 .提示:设 ,则


直线 方程为

即 ,因为 ,则



代人方程得

于是点 在直线 上;
同理,若设 ,则 方程为

即点 也在直线 上,因此交点 的坐标为 .
、 .提示:由

所以,



当 ,即 时取得等号.
、 .提示:


、 .提示:作三棱锥侧面展开图,易知 ∥ ,且由周长最小,得 共线,于是等腰 , ,

即 , ,

所以 ,由 ,则

、 .提示:由于 是 形状的数,所以 必为奇数,而 为偶数, 设 , ,代人得


. ①
而 为偶数,则 为奇数,设 ,则

由①得,
, ②
则 为奇数,且 中恰有一个是 的倍数,当 ,为使 为奇数,且 ,只有 ,②成为

即 ,于是 ;
若 ,为使 为奇数,且 ,只有 ,②成为 ,即 ,它无整解;
于是 是唯一解: .
(另外,也可由 为偶数出发,使

为 的倍数,那么 是 的倍数,故 是 形状的偶数,依次取 ,检验相应的六个数即可.)

、 .提示:添加自然数 ,这样并不改变问题性质;先考虑由 到 这一千个数,将它们全部用三位数表示,得到集 ,易知对于每个 ,首位为 的“三位数”恰有 个: ,
这样,所有三位数的首位数字和为
.
再将 中的每个数 的前两位数字互换,成为 ,得到的一千个数的集合仍是 ,
又将 中的每个数 的首末两位数字互换,成为 ,得到的一千个数的集合也是 ,由此知

今考虑四位数:在 中,首位(千位)上,共有一千个 ,而在
中,首位(千位)上,共有一千个 ,因此

其次,易算出, . 所以,

、由



平方得

所以




所以


、如图,设 交于点 ,连 ,由于中位线 ∥ ,以及 平分 ,则 ,所以 ,因 ,得 共圆.所以 ;又注意 是 的内心,则
.
连 ,在 中,由于切线 ,所以

因此 三点共线,即有 三线共点.
、 证明:由于 为质数,而 ,则 ,据裴蜀定理,存在正整数 ,使
, ①
于是当 为奇数时,则①中的 一奇一偶.
如果 为偶数, 为奇数,则将①改写成:

令 ,上式成为 ,其中 为奇数, 为偶数.
总之存在奇数 和偶数 ,使①式成立;据①,
, ②
现进行这样的操作:选取一个点 ,自 开始,按顺时针方向操作 个顶点,再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后,据②知,点 的颜色被改变了奇数次( 次),从而改变了颜色,而其余所有顶点都改变了偶数次( 次)状态,其颜色不变;称这样的 次操作为“一轮操作”,由于每一轮操作恰好只改变一个点的颜色,因此,可以经过有限多轮这样的操作,使所有黑点都变成白点,从而多边形所有顶点都成为白色;也可以经过有限多轮这样的操作,使所有白点都变成黑点,从而多边形所有顶点都成为黑色.
、当 为偶数时,也可以经过有限多次这样的操作,使得多边形所有顶点都变成一色.具体说来,我们将有如下结论:
如果给定的正多边形开初有奇数个黑点、偶数个白点,则经过有限次操作,可以将多边形所有顶点变成全黑,而不能变成全白;反之,如果给定的正多边形开初有奇数个白点、偶数个黑点,则经过有限次操作,可以将多边形所有顶点变成全白,而不能变成全黑;
为此,采用赋值法:将白点改记为“ ”,而黑点记为“ ”,改变一次颜色,相当于将其赋值乘以 ,而改变 个点的颜色,即相当于乘了 个(偶数个) ,由于 ;
因此当多边形所有顶点赋值之积为 ,即总共有奇数个黑点,偶数个白点时,每次操作后,其赋值之积仍为 ,因此无论操作多少次,都不能将全部顶点变白.
但此时可以变成全黑,这是由于,对于偶数 ,则①②中的 为奇数,设 是多边形的两个相邻顶点,自点 开始,按顺时针方向操作 个顶点,再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后,据②知,点 的颜色被改变了偶数次( 次),从而颜色不变,而其余所有 个顶点都改变了奇数次( 次)状态,即都改变了颜色;再自点 开始,按同样的方法操作 次后,点 的颜色不变,其余所有 个顶点都改变了颜色;于是,经过上述 次操作后,多边形恰有 两个相邻顶点都改变了颜色,其余所有 个点的颜色不变.
现将这样的 次操作合并,称为“一轮操作”;每一轮操作,可以使黑白相邻的两点颜色互换,因此经过有限轮操作,总可使同色的点成为多边形的连续顶点;
于是当多边形开初总共有偶数个白点时,每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑点,使得有限轮操作后,多边形所有顶点都成为黑色.
同理得,如果给定的正多边形开初总共有奇数个白点、偶数个黑点,经过有限次操作,可以使多边形顶点变成全白,而不能变成全黑;(只需将黑点赋值为“ ”,白点赋值为“ ”,证法便完全相同).

G. 挑战!高一数学竞赛题的第1题。

两边乘以(m+1)m,整理可得m^3=-1。于是
m^2008+1/m^2009 = (-m)+(-1/m^2) = (-m)+(m^3/m^2) = 0

H. 高一数学集合竞赛题(在线等)

(1)若x∈ Si y∈Sj,则抄x-y∈S3
所以每个集合中均有非袭负元素.
当三个集合中的元素都为零时,命题显然成
立.否则,设S1,S2,S3中的最小正元素为a,不
妨设a∈ S1,设b 为S2,S3中最小的非负元素,不
妨设b∈ S2则b-a∈ S3.若b>0,则0≤b-a 的取法矛盾.所以b=0.任取x∈ S1因0∈S2,
故x-0=x∈S3.所以S1包含于S3 ,同理 S3包含于S1
所以S1= S2.
(2)可能.例如S1= S2={奇数},S3={偶数}显然满足条件,S1和S2与S3都无公共元素.

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